L'eleganza della fisica (Italian Edition) by Alessio Mangoni

autore:Alessio Mangoni [Mangoni, Alessio]
La lingua: ita
Format: epub
pubblicato: 2020-07-20T04:00:00+00:00

L’universo della fisica

La meccanica classica

Nella vita di tutti i giorni, l'uomo ha dovuto imparare a risolvere diversi problemi, nati dalla sua interazione con l'ambiente circostante. Un problema semplice da risolvere può essere quello di calcolare la velocità con cui un corpo dotato di una certa massa cade al suolo, oppure conoscere la posizione di un oggetto in moto a un certo istante. Per questi problemi relativamente semplici si usa la meccanica classica, storicamente divisa in due formulazioni equivalenti, quella che deriva dai principi di Newton e quella formulata da Lagrange, Eulero e altri scienziati, detta meccanica analitica o meccanica razionale. I principi di Newton sono tre, il primo afferma che un corpo permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché non interviene una forza che ne modifica il moto. Il secondo principio, detto anche seconda legge della dinamica o legge di Newton, descrive quantitativamente la relazione, lineare, tra la forza applicata ad un corpo e la sua accelerazione, che abbiamo già accennato. La costante di proporzionalità tra queste due grandezze fisiche è la massa del corpo. L'ultimo principio, il terzo, è il cosiddetto principio di azione e reazione. Esso afferma che se un corpo A esercita una forza F su un secondo corpo B allora B esercita una forza -F sul primo corpo A. Riportiamo l'espressione matematica della seconda legge della dinamica



dove F e a sono, rispettivamente, i vettori forza e accelerazione, mentre m è la massa del corpo. Una scrittura più generale per il secondo principio della dinamica, che tiene conto di eventuali variazioni della massa del corpo, ad esempio causati dalla perdita di carburante di una vettura durante il moto, è la seguente



In quest'ultima espressione si ha la derivata, fatta rispetto al tempo, del vettore p, cioè della quantità di moto del corpo. L'espressione classica della quantità di moto è la seguente



con v vettore velocità del corpo di massa m. Applicando la proprietà della derivata del prodotto alla formula di Eq. (6) si può mostrare che, nel caso in cui la massa non vari nel tempo, cioè la sua derivata temporale sia nulla, si riottiene l’espressione in Eq. (5). I calcoli espliciti sono i seguenti



ponendo ora



e dalla definizione di accelerazione come derivata temporale della velocità



si ottiene



come già anticipato.

Possiamo riassumere la legge di Newton in questo modo: dato un corpo di massa m e velocità v, all'istante di tempo t, con quantità di moto p, allora la variazione nel tempo di p coincide con la risultante delle forze esterne applicate ad esso. Una volta enunciati i primi due principi della dinamica, si può osservare che il primo è incluso nel secondo, infatti se la forza è nulla si ha



e l’Eq. (5) fornisce un'accelerazione nulla



e si ha un moto rettilineo uniforme, cioè a velocità costante.

Per un moto ad accelerazione costante a lungo una retta (omettiamo la notazione vettoriale) possiamo scrivere invece



da cui



Integrando otteniamo



da cui



che fornisce la velocità al tempo t, dove v0 è la velocità iniziale.

Analogamente, per la posizione al tempo t, si ha



cioè



e



Sostituendo il risultato ottenuto nell’Eq.

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